子育て&学力アップの応援ブログ ~数学~

2019年

11月

03日

文章問題の考え方講座 ~part5~

今回は連立方程式の範囲の問題です。

 

式を解くのに必要なのは連立方程式の知識ですが、式を立てるのに必要なのは「時間」「角度」「単位量あたりの数」あたりの考え方でしょうか。

 

では、問題がこちら。

 

 

------------------------------------------------

 

7時x分 の長針と短針の位置が、2時y分 で入れかわるとき

 

(1) x と y についての連立方程式を立てなさい。

 

(2) x の値を求めなさい。

 

------------------------------------------------

 

 

まずは問題における「7時x分の長針と短針の位置が、2時y分で入れかわる」というのが、どういう状態なのか。ここをきちんと理解し、イメージできなければダメですね。

 

長針と短針の位置が「7時x分」と「2時y分」で入れかわるということは、

 

短針(時間を示す針)の位置が、

「7時x分」→「7」と「8」の間

「2時y分」→「2」と「3」の間

となるので、

 

長針(分を示す針)の位置は、

「7時x分」→「2時y分」における長針の位置、つまり「2」と「3」の間

「2時y分」→「7時x分」における長針の位置、つまり「7」と「8」の間

となりますね。

 

 

図にするとこんな感じです。

 

「7時x分の長針」と「2時y分の短針」

「7時x分の短針」と「2時y分の長針」

 

がそれぞれ等しい位置にあるということですね。

 

あとはそれぞれの位置を数式で表すことができれば等式を二つ書くことが可能です。

 

 

で、長針と短針の位置を表わすのに用いるのが角度。

 

「12」の位置、つまり 0時を起点として長針および短針の位置までの角度を「x分」「y分」を使って表わすことができないか?

 

という発想に辿り着けばあとは簡単。

 

 

まずは長針の角度を考えます。

 

長針は 60分で 1周 (360°) 回るので、

 

360÷60=6

 

長針が 1分あたりに動く角度は 6° です。なので、

 

 7時x分 の長針の角度は「6x」

 2時y分 の長針の角度は「6y」

 

と表すことが出来ます。

 

 

次に短針の角度。

 

短針は 60分で時計の数字1つ分、つまり 1時間あたり (30°) 動くので、

 

30÷60=1/2

 

短針が 1分あたりに動く角度は 1/2° です。なので、

 

 7時から x分 経ったときの短針の角度は「1/2x」

 2時から y分 経ったときの短針の角度は「1/2y」

 

と表すことが出来ます。

 

ただし、短針は 0時からの角度も考えないといけません。

 

 

短針は 1時間あたり (30°) だから、

 

 0時から 7時までの角度は「210°」

 0時から 2時までの角度は「60°」

 

です。ここは簡単ですね。

 

 

あとは、

 

「0時 から 7時 の角度」と「7時 から 7時x分 の角度」

「0時 から 2時 の角度」と「2時 から 2時y分 の角度」

 

を足したものが、0時を起点とした短針の角度となります。なので、

 

 7時x分 の短針の角度は「1/2x + 210」

 2時y分 の針の角度は「1/2y + 60」

 

と表すことが出来ます。

 

 

最後に、ここまでで作った「長針と短針を表わす数式」をイコールの関係にあるもの同士まとめれば完成です。

 

 

7時x分の短針の角度 = 2時y分の長針の角度

 

1/2x + 210 = 6y

 

 

7時x分の長針の角度 = 2時y分の短針の角度

 

6x = 1/2y + 60

 

 

 

これで (1) の問題は終了。

(2) の問題はこの2つの式を連立方程式で解くだけですね。

 

 

 

 

以上、今回の問題、解説はいかがでしたか?

 

中学生の皆さんは、読んでみて終わり、ではなく、ぜひ同じ問題を自分でも実際に解いてみて下さい。

 

実際に解いてみると、読んでいた時には気づかなかった疑問や、よく分からないことなどが見えてくることもありますので(^^)

 

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2019年

10月

27日

文章問題の考え方講座 ~part4 #2~

前回(part4 #1)の続き。

 

今回は (2) の問題の別の解き方について考えていきます。

 

 

-------------------------------------------------

右の図のように、

 

直線①:y=x/2

双曲線②:xy=6 (x>0)

 

2点 A(-4,3) B(-1,-1) 

 

がある。

また、四角形ABCDが平行四辺形となるように、2点 C , D をそれぞれ①、②の上にとる。次の問いに答えなさい。

 

(1) 2点 C , D の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(2) 点P (3,-1) を通る直線n で、平行四辺形ABCDの面積を2等分したい。

直線n の式を求めよ。

 

--------------------------------------------------

 

前回は、

 

「平行四辺形ABCD の中心(対角線の交点)を軸にして、点P と点対称になる点」

 

について考え、その点と 点P を結ぶ直線を求めました。

 

 

ちなみに、

「この直線がどうして 平行四辺形ABCD の面積を二等分する線になるのか?」というと、

 

 点対称になる点同士を結ぶ

  ↓

 点対称の中心を通る

  ↓

 点対称の中心は、平行四辺形ABCD の中心(対角線の交点)

 

となり、「平行四辺形の中心を通るから」が答えですね。

 

 

平行四辺形を二等分する直線 = その平行四辺形の中心(対角線の交点)を通る直線

 

 

今回はこの考え方で問題を解いていきたいと思います。

 

 

まずは 平行四辺形ABCD の対角線の式を求めていきます。

 

(1) の問題を解いていれば 点A ~ 点D の座標は全部分かっているはずなので、

 

 点A と 点C の座標から 直線AC の式を求める

 点B と 点D の座標から 直線BD の式を求める

 

一次関数の式 y=ax+b にそれぞれの座標を代入して連立方程式で解けば良いですね。

 

 

 直線AC と 直線BD の交点の座標を求める

 

この座標が対角線の交点、つまり 平行四辺形ABCD の中心ですね。

 

 

最後に、

 

 平行四辺形ABCD の中心の点 と 点P を結ぶ 直線n の式を求める

 

となります。

 

 

前回の解き方よりかなり手順が多いですね。全部で連立方程式を4回も解かないといけません。と、考えると面倒なだけのように思うかもしれませんが、「入試に向け連立方程式の計算の復習も出来る」と捉えればこちらの解き方を選ぶことにも価値が生まれますね。

 

 

全ては捉え方次第。

 

 

ぜひ色々な考え方で問題を解き数学を楽しんでください(^^)

 

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2019年

10月

26日

文章問題の考え方講座 ~part4 #1~

前回(part3 #2)の続き。

 

今回は (2) の問題について考えていきます。

解説するのが (1) から (2) の問題に変わるので part も新しくしますね。

 

 

-------------------------------------------------

右の図のように、

 

直線①:y=x/2

双曲線②:xy=6 (x>0)

 

2点 A(-4,3) B(-1,-1) 

 

がある。

また、四角形ABCDが平行四辺形となるように、2点 C , D をそれぞれ①、②の上にとる。次の問いに答えなさい。

 

(1) 2点 C , D の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(2) 点P (3,-1) を通る直線n で、平行四辺形ABCDの面積を2等分したい。

直線n の式を求めよ。

 

--------------------------------------------------

 

グラフに 点P を追加するとこんな感じですね。

 

平行四辺形ABCD の面積を半分にする直線、なので、

 

「平行四辺形ABCD の中心(対角線の交点)を軸にして、点P と点対称になる点」

 

を求めて、点P と結べば二等分に出来ますね。

 

 

点P と点対称な点を「点Q」とします。

 

点Q は、「点P が 点B からどれだけ移動した場所にあるか」という位置情報をもとに、「点D (点B と点対称な点) から逆向きに同じだけ移動した場所」を考えることで求めることが出来ますね。

 

 

点P は 点B から「x軸プラス方向に 4」移動した位置にあることが分かるので、点D から「x軸マイナス方向に 4」移動した位置に 点Q を作れば良いですね。

 

 

(1) の問題が解けていれば 点D の座標はすでに計算済みのはずですので、そこから 点Q の座標も求めることが出来ます。

 

あとは 点P / 点Q の座標を y=ax+b にそれぞれ代入し、連立方程式を解いて a / b の値を求めれば 直線n の式の完成ですね。

 

 

 

さて、今回の解説もきちんと伝わったでしょうか?

 

次回はこの問題を別のアプローチで解いていきたいと思います(^^)

 

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2019年

10月

25日

文章問題の考え方講座 ~part3 #2~

前回(part3 #1)の続き。

 

 

--------------------------------------------------

右の図のように、

 

直線①:y=x/2

双曲線②:xy=6 (x>0)

 

2点 A(-4,3) B(-1,-1) 

 

がある。

また、四角形ABCDが平行四辺形となるように、2点 C , D をそれぞれ①、②の上にとる。次の問いに答えなさい。

 

(1) 2点 C , D の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(2) 点P (3,-1) を通る直線n で、平行四辺形ABCDの面積を2等分したい。

直線n の式を求めよ。

 

--------------------------------------------------

 

この問題の (1) ですね。

 

前回は、点C / 点D それぞれの x座標と y座標、それら4つの値を文字2つで表して連立方程式で解く、という考え方でした。

点C の座標を (X,Y) とし 点D の座標を X と Y を使って表わしましたね。

 

 

今回は、点C の座標を文字1つだけで表わす考え方です。

 

それほど難しいことではないです。点C は 直線① 上にあるのだから、例えば 点C の x座標が分かるのであれば 直線① の式に代入することで y の値を求めることが出来ますよね。

 

つまり、点C の x座標 = t とした場合、直線① の式 y=x/2 に代入して y=t/2、y座標 = t/2 と表わせます。

 

あとは前回同様、点C の座標 (t,t/2) から 点D の座標を書くと、

 

 

このように表わすことが出来るので、あとは 点D の座標を 双曲線② の式に代入し t の値を求めれば良いですね。

 

 

ちなみに前回と今回の解き方、何が違うかと言うと「代入のタイミング」だけなんですよね。

分かるでしょうか?

 

【前回】※扱う文字は X,Y から t,u に変更してます。

 C (t,u) とする。

 D (t-3,u+4) となる。

 C/D の値を式に代入。直線①:u=t/2、双曲線②:(t-3)(u+4)=6

 直線① と 双曲線② の式を連立方程式(代入法)で解く。(t-3)(t/2+4)=6

 

【今回】

 C の x座標 t とする。

 直線① に代入し y座標を作る。y=t/2

 D (t-3,t/2+4) となる。

 双曲線② に代入し方程式を解く。(t-3)(t/2+4)=6

 

という感じで、結局どちらも同じ式(二次方程式)を解くことになります。

 

 

 

さて、今回の解説もきちんと伝わったでしょうか?

 

次回は (2) の問題の解説を書いていきたいと思います(^^)

 

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2019年

10月

24日

文章問題の考え方講座 ~part3 #1~

part3は二次方程式の単元の中で出題されてた問題です。

 

けれど、連立方程式、比例反比例、一次関数、図形(平行四辺形)の性質、など複合的な知識の土台が無ければ解けないかな、という感じの問題ですね。

 

 

--------------------------------------------------

右の図のように、

 

直線①:y=x/2

双曲線②:xy=6 (x>0)

 

2点 A(-4,3) B(-1,-1) 

 

がある。

また、四角形ABCDが平行四辺形となるように、2点 C , D をそれぞれ①、②の上にとる。次の問いに答えなさい。

 

(1) 2点 C , D の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(2) 点P (3,-1) を通る直線n で、平行四辺形ABCDの面積を2等分したい。

直線n の式を求めよ。

 

--------------------------------------------------

 

今回はこの問題の (1) を解説していきたいと思います。

 

まずは、四角形ABCD が平行四辺形であるということ。そのことから 点C と 点D の位置関係をどのように捉えるか、が大切なポイントになります。

 

 

四角形ABCD が平行四辺形だということは、

 

 線分AB と 線分DC は「傾き」も「長さ」も等しい

 

ということになりますね。つまり、

 

 「点C から 点D の位置関係」は「点B から 点A の位置関係」と等しい

 

と考えることが出来ます。

 

 

点A と 点B の座標は分かっているので、点A は 点B から見て、

 

 「x軸マイナス方向に3 , y軸プラス方向に4 移動した位置」

 

にあることが読み取れます。つまり、

 

 

点C と 点D の位置関係もそれと同様なので、点D は 点C から

 

 「x軸マイナス方向に3 , y軸プラス方向に4 移動した位置」

 

にあるということになります。

 

 

この位置関係の情報を利用すると、点C および 点D の座標を文字を使った式で表すことができます。

 

 

点C を (X,Y) とした場合であれば、点D は (X-3,Y+4) というようにそれぞれの座標を「文字2つ」で表わすことが出来ます。

 

もし 点D を (X,Y) とするのであれば、点C は (X+3,Y-4) となりますね。まぁそれは、どちらの点を基準にするか、というだけのことなのでどちらでもOKです。

 

あとは、直線① の式に 点C の座標を、双曲線②の式に点Dの座標を、それぞれ代入して解いていけばいいだけです。

 

 

 

 

この手の問題の考え方のポイントは、

 

 点C の x座標 (?1)、点C の y座標 (?2)、点D の x座標 (?3)、点D の y座標 (?4)

 

と、不明な値が4つあるわけですが、

 

 ?1 → 文字1、?2 → 文字2、?3 → 文字3、?4 → 文字4

 

このように、それぞれに文字を割り当てるのではなく、

 

 ?1 → 文字1、?2 → 文字2、?3 → 文字1を使って表わす、?4 → 文字2を使って表わす

 

こうして扱う文字の数を2つにするということ。

扱う文字が2つであれば連立方程式で解くことが出来ます。

 

 

 

ちなみに、扱う文字が1つであれば方程式で解くことが出来ます。ということで、次回は少し違った考え方で解く方法を解説してみたいと思います(^^)

 

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2019年

10月

15日

文章問題の考え方講座 ~part2~

ようやくpart2です。今回の問題はこちら。

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電車が分速640mで等しい間隔をおいて走っている。A君が線路に沿って歩いたとき、前から来る電車には7分ごとにすれ違い、後ろから来る電車には9分ごとに追いこされた。A君の歩いた速さを求めなさい。
--------------------------------------------------


この問題を解くための一番シンプルな考え方は、

①:「A君」の歩く速さを a(m/分)とする。
②:「電車」と「A君」がすれ違う瞬間から7分後の、「電車」と「A君」との間の距離を文字式で表す。
③:「電車」が「A君」を追いこす瞬間から9分後の、「電車」と「A君」との間の距離を文字式で表す。
④:②と③の文字式をイコールで結び方程式を解く。

このような感じでしょうか。

 

実はこれだけだと不十分でこの問題の要点を正しく理解することは出来ないのですが、ひとまず「A君」と「電車」との関係を図に書いてまとめてみます。

 

 

②電車の速さは640m/分なので電車の走った距離は、640×7=4480(m)。A君の歩いた距離は、a×7=7a(m)。これらを足したものがすれ違う場合の「電車」と「A君」との間の距離です。

  4480+7a

③電車の走った距離は、640×9=5760(m)。A君の歩いた距離は、a×9=9a(m)。これらの差が追いこす場合の「電車」と「A君」との間の距離です。

  5760-9a


ということで、あとはこの二つの文字式をイコールで結んで計算すればいいわけですが、質問をくれた生徒が分からなかったことは、

「どうしてこの二つの式が等しくなるのか?」

ということでした。


二つの式が等しい、とする根拠は問題に書いてある通り、電車は「等しい間隔をおいて走っている」からです。

ではなぜ「電車とA君との間の距離」とそのことが結びつかないかというと、式を作るときに最初の電車とA君との関係しか見ていないから。

なぜ7分後、9分後の距離を考えるのか。

A君が最初の電車とすれ違う瞬間から7分経った瞬間がどういう状況になっているのか、追いこす場合も同じです。9分後にどういう状況になっているのか。そこが正しくイメージできていないから二つの式が等しくなる理由が分からないのだと思います。

ということで、この問題を解くための考え方を改めて図にまとめます。

 

 

問題文「前から来る電車には7分ごとにすれ違い」は、

  A君が最初の電車とすれ違う瞬間から7分後 → 次の電車とすれ違う瞬間


問題文「後ろから来る電車には9分ごとに追いこされた」は、

  A君を最初の電車が追いこす瞬間から9分後 → 次の電車が追いこす瞬間


だということを正しく理解しイメージできないと「式の作り方は知ってる」けど「なぜ等しい関係になるのか分からない」ということになるのですね。



もちろんこの問題を解くだけであれば「なぜ電車とA君との間の距離が等しくなるのか?」について分からないままでも支障はないです。

ただそれは「この問題を解くためだけの知識」でしかなく応用は効きません。

だから当塾では「解き方」ではなく「なぜその解き方なのか」ということを、正しく理解できるよう指導することに力を入れているのです(^^)

 

 

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2019年

10月

14日

文章問題の考え方講座 ~part1 #4~

今回もこれまで(文章問題の考え方講座 ~part1 #1~ / ~part1 #2~ / ~part1 #3~)と同じ問題を題材に、また少し違った解き方について考えていきたいと思います。

この問題の解き方を考えるのはこれで最後です。次回からは別の問題を考えていきますね。

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ある中学校の昨年の生徒数は、男女あわせて530人であった。今年は、昨年と比べると、男子は5%減り、女子は8%増え、合計では6人増えている。今年の男子と女子の生徒数を、それぞれ求めよ。
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さて、この問題は連立方程式の問題ということで2年生のワークに収録されている問題なのですが、文章問題が苦手な子には「決められた解き方通りに解く」のではなく、とにかくいろいろ考えてもらいたいので、

「使う文字をxとyの2つではなく、xだけを使って解いてみて!」

と、文章問題が苦手な子には少々しんどいと感じるであろう無茶振りをしたりします。


考え方は特に難しいことはないです。

去年の男子をx人、去年の女子をy人、とすると、

 

 

このように考えたわけですが、この内「y」が使えなくなったので、「去年の女子の人数」をどのように表わすか?ということを考える必要がありますね。

去年の合計が530人、去年の男子がx人。なので、

「去年の女子の人数」=「合計から男子の人数を除いた人数」

と、これだけ考えることが出来ればいいわけです。

 

 

あとは出来上がった方程式を解けばいいだけですね。


さて、「文章問題の考え方講座」と題して一つの問題の考え方を4回にわたって書いてきましたが、こんな風に色々な解き方を考えさせることで、文章問題は苦手な子どもたちでも段々と「自分で解き方を考える力」が身についていきます。

「問題の解き方を覚える学習」はどれだけやっても社会に出たとき役には立ちませんし、なにより面白くないと私は思います。

ぜひ色々な解き方、考え方を模索して楽しんでみて下さい(^^)

 

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2019年

9月

11日

文章問題の考え方講座 ~part1 #3~

今回もこれまで(文章問題の考え方講座 ~part1 #1~ / ~part1 #2~)と同じ問題を題材に、また少し違った解き方について考えていきたいと思います。

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ある中学校の昨年の生徒数は、男女あわせて530人であった。今年は、昨年と比べると、男子は5%減り、女子は8%増え、合計では6人増えている。今年の男子と女子の生徒数を、それぞれ求めよ。
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この問題、こんな式を書いて間違う子もいます。

昨年の生徒数、男子をx人、女子をy人とし
x+y=530
0.95x+1.08y=6

なぜこうなったのかは分かりませんが、おそらく解き方は知っていてその解き方に当てはめる値を深く考えずに問題の中から拾っていった結果、

今年の男子と女子の生徒数の合計、の式が「0.95x+1.08y=6」となってしまったのかもしれませんね。

問題の中にある「6」という値は、昨年と比較し今年の全体の生徒数が6人増えた、ということなので、今年の生徒数「男子(0.95x)」「女子(1.08y)」の合計とするなら、昨年の合計530人に増えた6人を足して536人にしなければ等式は成立しませんね。



こういう間違いも子どもたちの学びにおける大切な素材です。上記に書いた通り、

「二つ目の式の左辺を “0.95x+1.08y” とするなら右辺はどのような数を置くべきか?」

については当然指導し学んでもらいますが、当塾ではそこから先に一歩踏み込んで、

「二つ目の式の右辺が “6” になるような左辺の式を考えてみよう!」

という問いかけをして、子どもたちに解き方を考えるよう促します。



この場合、「6」という値が何を表わしているかを読み解く必要があります。

昨年の人数と比較したときの今年の人数の変化は、

男子 → 5%減った
女子 → 8%増えた
全体 → 6人増えた

男子は減って女子は増えて、けど全体では人数が増えている、ということは「減った男子の人数」より「増えた女子の人数」の方が多いから全体で6人増えている。

つまり「増えた女子の人数」と「減った男子の人数」との差が「6人」ということ。

なので、

「増えた女子の人数」ー「減った男子の人数」= 6

で等式が成立します。

昨年の人数は男子を x人、女子を y人としていて、男子は「昨年の人数の 5%」が減った人数、女子は「昨年の人数の 8%」が増えた人数。なので、

「減った男子の人数」=0.05x
「増えた女子の人数」=0.08y

これで等式を完成させることが出来ますね!



さて、今回の考え方はいかがでしたか?

方程式の解き方って考え方次第で色んな式を書いて解くことが出来て面白いと思いませんか?

用意された解き方に囚われず自由な発想で自在に思考を広げることが出来る、子どもたちにはそういう学力を身につけていって欲しいですね(^^)

 

 

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2019年

7月

25日

文章問題の考え方講座 ~part1 #2~

第2回は前回(文章問題の考え方講座 ~part1 #1~)と同じ問題を題材に、けれど少し違った解き方について考えていきたいと思います。

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ある中学校の昨年の生徒数は、男女あわせて530人であった。今年は、昨年と比べると、男子は5%減り、女子は8%増え、合計では6人増えている。今年の男子と女子の生徒数を、それぞれ求めよ。
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この問題、解き方を覚えてなぞるだけの子たちがよくやるのが、「今年の男子と女子の生徒数」を「x , y」とおいて解こうとすること、ですね。

もちろんそれでも解くことは出来ますが、何%増えた減った、という変化が昨年の人数を元にしているので、今年の人数を基準に考えようとすると少し難易度が上がります。

で、どういう式を書けばいいか分からずに困り果てている子たちが非常に多いです。


「今年の男子と女子の生徒数」を「x , y」とおいて
「昨年の男子と女子の生徒数」を「x , y」を使って表わす


となるのですが、ここで必要なのが「○%増えたり減ったりしたものを、増えたり減ったりする前に戻す」計算の考え方ですね。

要するに「税込み価格を、税抜き価格に戻す」計算、と言えば分かりやすいかな。

この考え方が分からない子はとても多くて、
例えば、

 男子が5%減った → 5%増やせばいい
 1.05x

 女子が8%増えた → 8%減らせばいい
 0.92y

というような考え方で間違った式を書く子が割と多いです。

しかし「昨年の人数を元にした5%」と「今年の人数を元にした5%」というのは、値が同じ「5%」であっても、その中身は別物です。

この問題ではあくまでも「昨年の人数」を100%として考えなければなりません。


昨年の人数を「x , y」として今年の人数を表わすと、

 

 

こうでしたね。100だったものが95に、100だったものが108に、という変化をもう少し分かりやすく書くと、

 

 

このような感じでしょうか。

 100だったものを95にする(100で割って95を掛ける)
 100だったものを108にする(100で割って108を掛ける)

という計算です。

今年の人数を「x , y」として昨年の人数を表わす場合は、この計算を反転させればいいですね。つまり、

 95にしたものを100に戻す(95で割って100を掛ける)
 108にしたものを100に戻す(108で割って100を掛ける)

という計算をしてあげると、5%減る前の人数、8%増える前の人数、をそれぞれ求めることが出来ます。

 

 

これで式が二つ完成したので、あとは連立方程式の計算で解けばいいですね。

今回は求める数である「今年の男子と女子の生徒数」を「x , y」とおいて式を立てているので、計算して求めた「x , y」の値がそのまま答えとなります。



今回の考え方はいかがでしたか?

昨年の生徒数を「x , y」とおくか、今年の生徒数を「x , y」とおくか、たったそれだけの違いですが、式を書くための考え方の難易度はかなり差があるかもしれませんね。

とはいえ、今年の生徒数を「x , y」とおいて式を考えたからこそ、「方程式の文章問題の解き方」ということだけでなく「○%増えたり減ったりした物の数を、○%増えたり減ったりする前の数に戻す、割合の計算の考え方」まで学ぶことが出来るのです。

スタンダードな問題の解き方だけを教える、というのは最短ルートで効率よく思えるかもしれませんが、今回のような考え方を学んで行くことは、たとえ時間がかかって非効率的に思えても、子どもたちの地頭力を育てるとても大切な過程だと考えています。


たくさん寄り道をして、たくさん考えた子ほど、応用力が身に付きます!



ですので当塾ではひとつの考え方だけに囚われず、自由な発想でさまざまな考え方を身につけられるよう、分からない事に対し試行錯誤を重ねていく!そういう学習を大切にしています(^^)

 

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2019年

7月

11日

文章問題の考え方講座 ~part1 #1~

文章問題の考え方講座 ~part1~、ということで第1回はこちらの問題について考えてみます。

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ある中学校の昨年の生徒数は、男女あわせて530人であった。今年は、昨年と比べると、男子は5%減り、女子は8%増え、合計では6人増えている。今年の男子と女子の生徒数を、それぞれ求めよ。
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割合の考え方を含む文章問題です。苦手な子も多いですね。
ウチの生徒がこの問題を解くときに、ココが分からなかった、こんな間違いをしていた、っていう実例も元に問題を解くための考え方を見ていきたいと思います。


まずは、この問題を解くのに一番シンプルな考え方から。


文章問題を解くために大切なことは「登場する値とその関係を正しく把握、整理して考えること」かな。この問題であれば、

 昨年の男子の生徒数(不明)
 昨年の女子の生徒数(不明)
 その合計が530人

 今年の男子の生徒数(不明、昨年より5%減)
 昨年の女子の生徒数(不明、昨年より8%増)
 その合計が、昨年より6人増、なので536人

 男子の生徒数+女子の生徒数=合計、で等式が書けます。

これらを表にして整理するとこんな感じでしょうか。

 

 

次にこの中の「不明な値」に対し、x や y といった記号を置いて、計算によって解を求めるための数式を作っていきます。

 

このとき、どの値を記号に置き換えて考えるか?、というのはとても大事なポイントで、選択次第でかなり難易度が変わってきます。


この問題では「5%減」「8%増」という値が昨年の人数を元にした変化になっているので、昨年の男女の生徒数を x , y とした方が考えやすいですね。

 

そこから今年の生徒数を x , y を使ってどのように表すか考えます。

 「5%減」は元の人数を100とした場合に、その内の5を減らして95にするということ。
 「100→100」は「×1」なので「100→95」は「×0.95」です。

 「8%増」は元の人数を100とした場合に、その内の8を増やして108にするということ。
 「100→108」は「×1.08」です。

まとめるとこんな感じ。

 

これで式が二つ書けるのであとは計算するだけですね。

ちなみに求める値が「今年の男子と女子の生徒数」なのに対し、この考え方の式では「昨年の男子と女子の生徒数」を x , y としているので、連立方程式を解いたあと x , y の値から今年の人数をそれぞれ求めないといけない点には注意が必要です。


さて、今回の解説はいかがだったでしょう?

数学の文章問題を解けない子たちは、問題を解く手順が「式を書く」→「計算」の2つだけ。で、式を書く方法は「覚えてる解き方、あるいは似た問題の解き方に数値を当てはめる」ということをしているだけで「問題を読んで式を作る」ということを実はほとんどしていません。

数学が苦手な子たちは「計算することが数学」という感じですが、私の感覚では「計算するまでが数学」です。

なので、これからも式を立てるまでの考え方を色々と解説していきたいと思います(^^)

 

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2019年

7月

07日

文章問題の考え方講座 ~part0~

数学の文章問題。苦手な子が多いですね。

 

多くの子どもが、「解き方」に当てはめて計算し答えを出そう、としかしていないことが多いですね。だから覚えている「解き方」から少しでもズレると、途端に道に迷い、訳が分からなくなってしまうのだと思います。

 

 

文章問題を解くのに大切なことは「解き方」ではなく「考え方」です。

 

では、その「考え方」を養うためにはどうすればいいのでしょうか?

 

 

私はあまり小難しくは考えていません。

 

【寄り道をして、その問題でたくさん遊んでしまえばいい!】

 

そんな風に考えています。

 

 

型にはめて問題を解いて、正解すれば「ハイ終わり」ではなく、

 

じゃあこうしてみたらどんな式が書けるだろう?

こんな風に考えたら別の式が書けないかな?

 

と、想像力を膨らませ、一つの問題に ああでもない こうでもない とひたすら思考をめぐらせ自由自在に「解き方」を開発する。

 

そういう勉強は、未知の問題であろうと解に辿りつける実力が身につくだろうし、なによりきっと楽しい!

 

 

そこで当ブログでも「文章問題の考え方講座」シリーズとして、子どもたちが間違いやすいポイントと、それでも躓かずに前に進むための考え方を養っていけるような内容を投稿していけたらと思います。

 

 

それでは「文章問題の考え方講座 ~part1~」をお楽しみに(^^)

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2015年

8月

04日

速さの学習における「距離」と「道のり」の違い

前回 の続き。


さて、「距離」と「道のり」の言葉の違いを勉強したところで、本来のテーマである、

『小・中学生の "速さ" の学習において、「距離」と「道のり」のどちらを用いるべきか』

について考えてみたいと思います。



まず私の考えは、「距離」を使う方が適切、だと感じます。

「速さ」の学習の中では「AとBという二点間の長さ」を考えることもあれば「池の周りだったり、家から学校までといった道の長さ」を考えることもあるわけです。

そのどちらでも使うことのできる「距離」で定義したほうが適切です。

「道のり」とは「道路の距離」に限定した言葉なのだから「AとBという二点間の長さ」というようなことを表わすのには不適切なんですよね。



けれども、どうも学校の教科書では「速さ、時間、道のり」で表記しているようです。

すべての教科書をもっているわけではないので各教科書会社の指導計画作成資料、



 東京書籍
 http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/text/shou/sansu/program.htm

 大日本図書
 http://www.dainippon-tosho.co.jp/j_school/sansu/archive/guidance_plan.html#no01

 学校図書
 http://www.gakuto.co.jp/web/jun/junsansu/nenkan/

 教育出版
 http://www.kyoiku-shuppan.co.jp/view.rbz?cd=2562

 啓林館
 http://shinko.ee-book.com/h27textbook/math/curriculum/

 日本文教出版
 http://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/sansu/sansu_dl/



を確認してみましたが、ほぼ全ての教科書で「道のり」を使っていました。東京書籍と啓林館のみ「距離」という言葉も使っているようですが、この2社も速さの公式を学ぶところからは全て「道のり」で表記されています。


また、手元に合った教科書「東京書籍:新編 新しい算数6」も確認してみました。

速さの単元はP108~P119で、そのうちP108~P111までは全て「きょり」で表記がされていますが、P112から唐突に「道のり」に変わります。ちょうど公式が登場するところからで、以降は全て「道のり」になっていました。

学校の教科書や準拠ワークなどをみても大体は「道のり」で統一されているようです。


これ、なんで「道のり」になったんでしょうね。「距離」の方が汎用性の高い言葉だと思うのですが。。。

その辺りの経緯なんかも知りたいものです。



さて、ということで結論。

距離と道のりの意味の違いは知っておくべきだが、速さの勉強をする上ではイコールと考えても問題はない

が私の出した答えです。

ここで学ばないといけないことは「速さに関わる数量の関係」を正しく理解すること。

速さと時間から導き出される長さのことを「距離」と「道のり」という記号のどちらで考えたとしても結果は変わらないですし、支障もないです。

なかには表記を統一しないと子どもたちが混乱する、ということをおっしゃる先生もいたりしますが、少なくとも私はその程度のことで混乱するとは思えませんし、そんなことで困っている子どもも見たことはありません。

もし二つの言葉の違いに戸惑う子がいれば、その時は先生が助けてあげればいいだけです。

先生はそういうときのためにいるんですから(^^)

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2015年

8月

03日

「距離」と「道のり」の意味の違い

すらら導入塾のコミュニティでこんな議論がありました。

『小・中学生の "速さ" の学習において、「距離」と「道のり」のどちらを用いるべきか』

些細なことかもしれませんが、そんな疑問を突き詰めて考える、もっと深く知りたいという知的好奇心に突き動かされた自発的な行動こそが「勉強する」ということだと思っています。

色々と調べてたくさんのことを知ることができたのがとても楽しかったです♪


ということで今回は「距離」と「道のり」の意味の違いについて書きます。



まず、この二つの言葉は小学校3年生の算数ではこのように習います。

 ・まっすぐにはかった長さを「距離」
 ・道にそってはかった長さを「道のり」



次に、この二つの言葉の意味を大辞泉で調べてみました。

 きょり【距離】
  ①二つの場所や物事の間の隔たり。
  ②人との関係で、相手に対する気持ちの上での隔たり。
  ③数学で、二点を結ぶ線分の長さ。

   また、二つの図形上の点を結ぶ線分のうちの最短のものの長さ。

 みちのり【道程】
  ある地点から他の地点までの道の長さ。目的地までの道路の距離。どうてい。



さて、小3算数習う内容と実際の言葉の意味との間で大きな齟齬は無いように見えますが、決定的な違いが一つあります。

それは小3算数で習う「距離」の定義が「まっすぐな長さ」に限定されてしまっていること。

もちろん「まっすぐな長さ」も「距離」ではあるのだけれど、本来は「まっすぐではない長さ」もまた「距離」なのです。


小3算数で習う内容は、

二つの地点の間を測る方法として「まっすぐに測る方法」と「道に沿って測る方法」とがあるよ。まっすぐに測ったときの長さを「距離」、道に沿って測ったときの長さが「道のり」と区別して覚えよう。

ということです。

「まっすぐ測った長さ」を正しく区別し表現するなら「直線距離」を用いたほうが齟齬は生じないと私は思うのですが、小学3年生の学習ということで長さを測る二つの方法を分かりやすく区別するのに「距離」と「道のり」という言葉を使っているのかもしれません。

 

「直線距離」を単に「距離」というのも言葉の定義としては正しいですからね。

けれど「距離」と「道のり」の意味を正しく理解させたいなら、やはり「直線距離」という言葉も使って教えてあげたほうがいいような気がします。


ちなみに一応この言葉も大辞泉で調べておきました。

 ちょくせんきょり【直線距離】
  二点間を結ぶ直線の長さ。平面上の二点間の最短距離。


ということで、まとめると、

二点間の長さを表わす「距離」という大きな概念があり、その中に、「道のり(道路の距離)」や「直線距離(直線の距離)」という言葉がある。

ということだと私は理解しています。


次回は「速さの学習における「距離」と「道のり」の違い」について書こうと思います(^^)

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2015年

7月

22日

夏休みの宿題より ~○%増えた、減ったの考え方~

塾では生徒の「夏休みの宿題」の面倒(進捗管理と分からない所の指導)も見ているのですが、せっかくなので、生徒から質問があった問題や、多くの生徒がよく分かっていないポイントなんかを、このブログでも取り上げて解説してみたいと思います。

今日は数学の問題からです。


  問題:


  ある学校の昨年度の生徒数は、男女合わせて650人だったが、
  今年度は、男子が3%、女子が4%増えたため、合わせて673人になった。
  今年度の男子と女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。


連立方程式の問題ですが、式を立てるときに「○%増えた」とか「○%引き」というのを x や y など代数をつかってあらわすのに、どういう式を立てればいいか分からない子が多いみたいです。

さて、この「○%増えた」の考え方ですが、「100人から5%増えた」として考えてみましょう。

100人いたところに100人の5%が増えたのだから、

 100 + 100 × 0.05 = 105

これが基本的な考え方ですね。

でも実はもっと簡単な式が書けます。

「人数」ではなく「パーセンテージ」で考えると、元となる人数の100人は「100%」で、そこに「5%」を足すのだから合計で「105%」になるわけですよね。つまり「5%増える」ということは「元の人数の105%になる」ということ。

だからこんな風に計算すればいいわけです。

 100 × 1.05 = 105

この考え方さえわかれば x や y などの代数に置き換えても簡単に式が立てられると思います。



ちなみに「○%減る」場合ですが、たとえば10%減ったのなら、100%から10%がなくなるのだから「90%になる」ということ。つまり元の数に0.9をかければいいですね。



ということで「○%増えた、減った」の考え方はしっかり理解しておきましょう(^^)

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2015年

2月

22日

おうぎ形の面積の求め方

この土日は学年末テスト前ということで教室の方も臨時開校!

 

生徒たちは全員が4~5時間ほど勉強してくれて、クタクタになりながらも充実感に満ちた表情で帰っていきました(^^)

 

 


さて、そのテスト勉強をしている中で、ある生徒がおうぎ形の面積を求める公式について疑問をぶつけてきてくれたので、今日はその疑問を解決してみたいと思います。

 

おうぎ形の面積は、


「母線の長さ × 弧の長さ ÷ 2」


という公式で求めることが出来るのですが、その生徒は


「確かこう教わった気がする。あれ?こうじゃなかったっけ?わからん。けどなんとなくこの計算でやってた。」


という感じで、それが正しいかどうかの確証すらないまま使っていたようです(^^;




で、その生徒の疑問というのは、なんで母線の長さと弧の長さを掛けて 2 で割ると面積になるの?、ということでしたので解説してみます。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

まず、扇形の 「面積」 や 「弧の長さ」 を求める考え方ですが、「母線 x を半径とする円の面積 or 円周」 から 「おうぎ形の中心角の割合」 を掛けることで求めることができます。


母線 x と中心角 θ が分かっている場合、おうぎ形の弧の長さを求める式は次のようになります。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

この式を利用して、母線 x と弧の長さ z が分かっていて中心角 θ を求める式を作ると次のようになります。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

で、扇形の面積は、母線 x と中心角 θ が分かっている場合、式で表すと次のようになります。

(おうぎ形の面積を A とします)

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

ですが、この式では中心角が分からないと面積は求められないですよね。

けれど、母線 x と弧の長さ z が分かっていれば中心角 θ を求める式が作れましたよね?


なので、これを面積を求める式に代入してみます。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

これで中心角が分からなくても母線 x と弧の長さ z さえわかればおうぎ形の面積を求められます。あとはこの式を整理すると、、、

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

よって、おうぎ形の面積は 「母線の長さ × 弧の長さ ÷ 2」 で求めることができるというわけですね。

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2015年

2月

19日

円錐の表面積の求め方

今日、生徒が苦戦していた円錐の表面積の求め方について簡単に書いてみたいと思います。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

x と y の長さが分かっていて表面積を求めなさい、っていう問題ですね。


立体図形の表面積を求める問題は、立体を平面に、平面を立体に、その図形のイメージを正しく捉えられるか、っていうのが一つのポイントだと思います。


円錐の場合、展開すると、

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

こんな感じで、おうぎ形と円がくっついた形になります。

それぞれの面積を求めて足せばいいですね。


円の方は 「半径×半径×π」 なので 「y²π」 となります。


おうぎ形の方は、「おうぎ形の弧の長さ」 ÷ 「母線 x を半径とする円の円周」 で円に対するおうぎ形の割合を計算し、円全体の面積からその割合分の面積を求めます。

ちなみに 「おうぎ形の弧の長さ」 は 「半径 y の円の円周」 と同じ長さなのでそこから計算します。


あとはこの二つを足せば円錐の表面積を求めることが出来る、というのが考え方ですね。




さて、ではここで一歩進んで 「もっと楽に求める方法」 について考えてみましょう(^^)


まずは上記の考え方を x と y を使って一つの式として書き出します。(円錐の表面積を A としてます)

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

この式を整理すると、

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

実はこんなに簡単に円錐の表面積を求めることが出来るんですね。

 

中学一年生の一学期に習った代数の計算を利用すれば複雑な計算も楽に解けてしまうわけです(^^)

 

 



とはいえ、この公式を生徒に教えることはしません。

テストの成績を伸ばすことだけが目的ならそれでいいかもせれませんが、本当に伸ばさないといけないのは学ぶ力、考える力です。



子どもたちには、何も考えずただ公式に当てはめて計算をするだけではなく、元となる考え方をきちんと理解してほしいと思っています。

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2014年

8月

22日

計算の順序

生徒からこんな質問がありました。

一次方程式で数字の項をまとめたときの計算で、

 13 - 8 + 5

「これってたし算を先にやってもいいの?ひき算を先にするのと答え変わるんやけど?」



答えは No ですね。

左から順番に計算する、が正解です。




理由は 「それが四則演算の計算のルールだから」 です。




【 13 - 8 + 5 】の計算の意味は、

「13 から 8 を引いて 5 を足す」

ということです。



たし算を先にしてしまうと、

「13 から 8 と 5 を足したものを引く」

という意味なので、

【 13 - ( 8 + 5 ) 】という計算に変わります。




全部たし算にすればわかりやすいのかな。

 13 + ( -8 ) + 5

後ろの計算を先にやるというのは 8 + 5 ではなく -8 + 5 という計算をする、ということなんですね。




生徒たちが勉強している中でこのような疑問を持ってくれることは嬉しいことです♪

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2014年

7月

11日

なんで移項すると符号がかわるの?

今日は方程式を解くときに使う「移項」について書きますね。


「移項」とは、「等式において、一方の辺の項を他方の辺に符号を変えて移すことができる」というルールですね。


例えば、

x+3=10
x=10-3

x=-2x+9
x+2x=9

というように数字や文字の項を符号を変えてもう一方の辺に移すことができます。


では、なぜ移項すると符号が変わるのか?

それは「等式の性質」を利用した結果だから、です。


まずは「等式の性質」について。

・A=B ならば A+C=B+C(両辺に同じ数を足しても等式が成り立つ)
・A=B ならば A-C=B-C(両辺から同じ数を引いても等式が成り立つ)
・A=B ならば AC=BC(両辺に同じ数を掛けても等式が成り立つ)
・A=B ならば A/C=B/C(両辺を同じ数で割っても等式が成り立つ、ただし C≠0)


この性質を利用すると、

① x+3=10
② x+3-3=10-3
③ x=10-3

となります。

②の左辺にある「+3-3」は「0」になるので、これを省力すると③となり、①から③を見ると左辺の「+3」を符号を変えて右辺に移した形になりますよね。

ならば、両辺から「3」を引くというステップは飛ばして、最初から左辺の「+3」を「-3」へと符号を変えて右辺に移してしまおう、というのが移項の考え方となります。

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2013年

12月

05日

算数と数学の違いって?

先日、ある生徒から「算数と数学ってどう違うの?」と質問を受けました。


うーん。算数と数学の違い。
あまり深く考えたことなかったですね。

例えば子どもたちって「学校の勉強なんて大人になったら使わない」、という
ようなことをよく言うけど、算数なんかは日常生活するうえで必須の学問です
よね。
数学はというと確かに方程式や関数などほとんどは日常生活では使いませんが、
仕事や人生を生きるうえでは数学的なものの考え方は非常に大切なことのよう
に感じます。


とりあえず、その場で上手く言葉に出来なかったので「ちょっと考えさせて」
と言って宿題にさせてもらいました。


で、いろいろ調べたり考えたりして、自分なりに算数と数学の違いを簡潔に
表現すると、


・算数
 →日常生活に必要な能力を磨くための学問

・数学
 →物事を論理的に考え未知の問題を解決する能力を磨く学問


ということかな、と思います。

質問してくれた子に伝えると、分かったような分からないような、という感じ
でしたけど(^^;;


ともあれ、生徒が「算数と数学の違いは?」って質問してくれたおかげで私も
いろいろ勉強できましたし、新しい発見もたくさんあって、本当に感謝です!!






ちなみに、文部科学省の真学習指導要領では算数・数学で学ぶべき目標を次のように
定義してます。参考までに。

小学校学習指導要領 算数
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/san.htm

中学校学習指導要領 数学
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/chu/su.htm

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