子育て&学力アップの応援ブログ ~数学~

2015年

8月

04日

速さの学習における「距離」と「道のり」の違い

前回 の続き。


さて、「距離」と「道のり」の言葉の違いを勉強したところで、本来のテーマである、

『小・中学生の "速さ" の学習において、「距離」と「道のり」のどちらを用いるべきか』

について考えてみたいと思います。



まず私の考えは、「距離」を使う方が適切、だと感じます。

「速さ」の学習の中では「AとBという二点間の長さ」を考えることもあれば「池の周りだったり、家から学校までといった道の長さ」を考えることもあるわけです。

そのどちらでも使うことのできる「距離」で定義したほうが適切です。

「道のり」とは「道路の距離」に限定した言葉なのだから「AとBという二点間の長さ」というようなことを表わすのには不適切なんですよね。



けれども、どうも学校の教科書では「速さ、時間、道のり」で表記しているようです。

すべての教科書をもっているわけではないので各教科書会社の指導計画作成資料、



 東京書籍
 http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/text/shou/sansu/program.htm

 大日本図書
 http://www.dainippon-tosho.co.jp/j_school/sansu/archive/guidance_plan.html#no01

 学校図書
 http://www.gakuto.co.jp/web/jun/junsansu/nenkan/

 教育出版
 http://www.kyoiku-shuppan.co.jp/view.rbz?cd=2562

 啓林館
 http://shinko.ee-book.com/h27textbook/math/curriculum/

 日本文教出版
 http://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/sansu/sansu_dl/



を確認してみましたが、ほぼ全ての教科書で「道のり」を使っていました。東京書籍と啓林館のみ「距離」という言葉も使っているようですが、この2社も速さの公式を学ぶところからは全て「道のり」で表記されています。


また、手元に合った教科書「東京書籍:新編 新しい算数6」も確認してみました。

速さの単元はP108~P119で、そのうちP108~P111までは全て「きょり」で表記がされていますが、P112から唐突に「道のり」に変わります。ちょうど公式が登場するところからで、以降は全て「道のり」になっていました。

学校の教科書や準拠ワークなどをみても大体は「道のり」で統一されているようです。


これ、なんで「道のり」になったんでしょうね。「距離」の方が汎用性の高い言葉だと思うのですが。。。

その辺りの経緯なんかも知りたいものです。



さて、ということで結論。

距離と道のりの意味の違いは知っておくべきだが、速さの勉強をする上ではイコールと考えても問題はない

が私の出した答えです。

ここで学ばないといけないことは「速さに関わる数量の関係」を正しく理解すること。

速さと時間から導き出される長さのことを「距離」と「道のり」という記号のどちらで考えたとしても結果は変わらないですし、支障もないです。

なかには表記を統一しないと子どもたちが混乱する、ということをおっしゃる先生もいたりしますが、少なくとも私はその程度のことで混乱するとは思えませんし、そんなことで困っている子どもも見たことはありません。

もし二つの言葉の違いに戸惑う子がいれば、その時は先生が助けてあげればいいだけです。

先生はそういうときのためにいるんですから(^^)

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2015年

8月

03日

「距離」と「道のり」の意味の違い

すらら導入塾のコミュニティでこんな議論がありました。

『小・中学生の "速さ" の学習において、「距離」と「道のり」のどちらを用いるべきか』

些細なことかもしれませんが、そんな疑問を突き詰めて考える、もっと深く知りたいという知的好奇心に突き動かされた自発的な行動こそが「勉強する」ということだと思っています。

色々と調べてたくさんのことを知ることができたのがとても楽しかったです♪


ということで今回は「距離」と「道のり」の意味の違いについて書きます。



まず、この二つの言葉は小学校3年生の算数ではこのように習います。

 ・まっすぐにはかった長さを「距離」
 ・道にそってはかった長さを「道のり」



次に、この二つの言葉の意味を大辞泉で調べてみました。

 きょり【距離】
  ①二つの場所や物事の間の隔たり。
  ②人との関係で、相手に対する気持ちの上での隔たり。
  ③数学で、二点を結ぶ線分の長さ。

   また、二つの図形上の点を結ぶ線分のうちの最短のものの長さ。

 みちのり【道程】
  ある地点から他の地点までの道の長さ。目的地までの道路の距離。どうてい。



さて、小3算数習う内容と実際の言葉の意味との間で大きな齟齬は無いように見えますが、決定的な違いが一つあります。

それは小3算数で習う「距離」の定義が「まっすぐな長さ」に限定されてしまっていること。

もちろん「まっすぐな長さ」も「距離」ではあるのだけれど、本来は「まっすぐではない長さ」もまた「距離」なのです。


小3算数で習う内容は、

二つの地点の間を測る方法として「まっすぐに測る方法」と「道に沿って測る方法」とがあるよ。まっすぐに測ったときの長さを「距離」、道に沿って測ったときの長さが「道のり」と区別して覚えよう。

ということです。

「まっすぐ測った長さ」を正しく区別し表現するなら「直線距離」を用いたほうが齟齬は生じないと私は思うのですが、小学3年生の学習ということで長さを測る二つの方法を分かりやすく区別するのに「距離」と「道のり」という言葉を使っているのかもしれません。

 

「直線距離」を単に「距離」というのも言葉の定義としては正しいですからね。

けれど「距離」と「道のり」の意味を正しく理解させたいなら、やはり「直線距離」という言葉も使って教えてあげたほうがいいような気がします。


ちなみに一応この言葉も大辞泉で調べておきました。

 ちょくせんきょり【直線距離】
  二点間を結ぶ直線の長さ。平面上の二点間の最短距離。


ということで、まとめると、

二点間の長さを表わす「距離」という大きな概念があり、その中に、「道のり(道路の距離)」や「直線距離(直線の距離)」という言葉がある。

ということだと私は理解しています。


次回は「速さの学習における「距離」と「道のり」の違い」について書こうと思います(^^)

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2015年

7月

22日

夏休みの宿題より ~○%増えた、減ったの考え方~

塾では生徒の「夏休みの宿題」の面倒(進捗管理と分からない所の指導)も見ているのですが、せっかくなので、生徒から質問があった問題や、多くの生徒がよく分かっていないポイントなんかを、このブログでも取り上げて解説してみたいと思います。

今日は数学の問題からです。


  問題:


  ある学校の昨年度の生徒数は、男女合わせて650人だったが、
  今年度は、男子が3%、女子が4%増えたため、合わせて673人になった。
  今年度の男子と女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。


連立方程式の問題ですが、式を立てるときに「○%増えた」とか「○%引き」というのを x や y など代数をつかってあらわすのに、どういう式を立てればいいか分からない子が多いみたいです。

さて、この「○%増えた」の考え方ですが、「100人から5%増えた」として考えてみましょう。

100人いたところに100人の5%が増えたのだから、

 100 + 100 × 0.05 = 105

これが基本的な考え方ですね。

でも実はもっと簡単な式が書けます。

「人数」ではなく「パーセンテージ」で考えると、元となる人数の100人は「100%」で、そこに「5%」を足すのだから合計で「105%」になるわけですよね。つまり「5%増える」ということは「元の人数の105%になる」ということ。

だからこんな風に計算すればいいわけです。

 100 × 1.05 = 105

この考え方さえわかれば x や y などの代数に置き換えても簡単に式が立てられると思います。



ちなみに「○%減る」場合ですが、たとえば10%減ったのなら、100%から10%がなくなるのだから「90%になる」ということ。つまり元の数に0.9をかければいいですね。



ということで「○%増えた、減った」の考え方はしっかり理解しておきましょう(^^)

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2015年

2月

22日

おうぎ形の面積の求め方

この土日は学年末テスト前ということで教室の方も臨時開校!

 

生徒たちは全員が4~5時間ほど勉強してくれて、クタクタになりながらも充実感に満ちた表情で帰っていきました(^^)

 

 


さて、そのテスト勉強をしている中で、ある生徒がおうぎ形の面積を求める公式について疑問をぶつけてきてくれたので、今日はその疑問を解決してみたいと思います。

 

おうぎ形の面積は、


「母線の長さ × 弧の長さ ÷ 2」


という公式で求めることが出来るのですが、その生徒は


「確かこう教わった気がする。あれ?こうじゃなかったっけ?わからん。けどなんとなくこの計算でやってた。」


という感じで、それが正しいかどうかの確証すらないまま使っていたようです(^^;




で、その生徒の疑問というのは、なんで母線の長さと弧の長さを掛けて 2 で割ると面積になるの?、ということでしたので解説してみます。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

まず、扇形の 「面積」 や 「弧の長さ」 を求める考え方ですが、「母線 x を半径とする円の面積 or 円周」 から 「おうぎ形の中心角の割合」 を掛けることで求めることができます。


母線 x と中心角 θ が分かっている場合、おうぎ形の弧の長さを求める式は次のようになります。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

この式を利用して、母線 x と弧の長さ z が分かっていて中心角 θ を求める式を作ると次のようになります。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

で、扇形の面積は、母線 x と中心角 θ が分かっている場合、式で表すと次のようになります。

(おうぎ形の面積を A とします)

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

ですが、この式では中心角が分からないと面積は求められないですよね。

けれど、母線 x と弧の長さ z が分かっていれば中心角 θ を求める式が作れましたよね?


なので、これを面積を求める式に代入してみます。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

これで中心角が分からなくても母線 x と弧の長さ z さえわかればおうぎ形の面積を求められます。あとはこの式を整理すると、、、

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、おうぎ形の面積の求め方、公式

よって、おうぎ形の面積は 「母線の長さ × 弧の長さ ÷ 2」 で求めることができるというわけですね。

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2015年

2月

19日

円錐の表面積の求め方

今日、生徒が苦戦していた円錐の表面積の求め方について簡単に書いてみたいと思います。

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

x と y の長さが分かっていて表面積を求めなさい、っていう問題ですね。


立体図形の表面積を求める問題は、立体を平面に、平面を立体に、その図形のイメージを正しく捉えられるか、っていうのが一つのポイントだと思います。


円錐の場合、展開すると、

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

こんな感じで、おうぎ形と円がくっついた形になります。

それぞれの面積を求めて足せばいいですね。


円の方は 「半径×半径×π」 なので 「y²π」 となります。


おうぎ形の方は、「おうぎ形の弧の長さ」 ÷ 「母線 x を半径とする円の円周」 で円に対するおうぎ形の割合を計算し、円全体の面積からその割合分の面積を求めます。

ちなみに 「おうぎ形の弧の長さ」 は 「半径 y の円の円周」 と同じ長さなのでそこから計算します。


あとはこの二つを足せば円錐の表面積を求めることが出来る、というのが考え方ですね。




さて、ではここで一歩進んで 「もっと楽に求める方法」 について考えてみましょう(^^)


まずは上記の考え方を x と y を使って一つの式として書き出します。(円錐の表面積を A としてます)

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

この式を整理すると、

京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式
京橋・城東区蒲生の個別指導学習塾アチーブメント、三角錐の表面積の求め方、公式

実はこんなに簡単に円錐の表面積を求めることが出来るんですね。

 

中学一年生の一学期に習った代数の計算を利用すれば複雑な計算も楽に解けてしまうわけです(^^)

 

 



とはいえ、この公式を生徒に教えることはしません。

テストの成績を伸ばすことだけが目的ならそれでいいかもせれませんが、本当に伸ばさないといけないのは学ぶ力、考える力です。



子どもたちには、何も考えずただ公式に当てはめて計算をするだけではなく、元となる考え方をきちんと理解してほしいと思っています。

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2014年

8月

22日

計算の順序

生徒からこんな質問がありました。

一次方程式で数字の項をまとめたときの計算で、

 13 - 8 + 5

「これってたし算を先にやってもいいの?ひき算を先にするのと答え変わるんやけど?」



答えは No ですね。

左から順番に計算する、が正解です。




理由は 「それが四則演算の計算のルールだから」 です。




【 13 - 8 + 5 】の計算の意味は、

「13 から 8 を引いて 5 を足す」

ということです。



たし算を先にしてしまうと、

「13 から 8 と 5 を足したものを引く」

という意味なので、

【 13 - ( 8 + 5 ) 】という計算に変わります。




全部たし算にすればわかりやすいのかな。

 13 + ( -8 ) + 5

後ろの計算を先にやるというのは 8 + 5 ではなく -8 + 5 という計算をする、ということなんですね。




生徒たちが勉強している中でこのような疑問を持ってくれることは嬉しいことです♪

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2014年

7月

11日

なんで移項すると符号がかわるの?

今日は方程式を解くときに使う「移項」について書きますね。


「移項」とは、「等式において、一方の辺の項を他方の辺に符号を変えて移すことができる」というルールですね。


例えば、

x+3=10
x=10-3

x=-2x+9
x+2x=9

というように数字や文字の項を符号を変えてもう一方の辺に移すことができます。


では、なぜ移項すると符号が変わるのか?

それは「等式の性質」を利用した結果だから、です。


まずは「等式の性質」について。

・A=B ならば A+C=B+C(両辺に同じ数を足しても等式が成り立つ)
・A=B ならば A-C=B-C(両辺から同じ数を引いても等式が成り立つ)
・A=B ならば AC=BC(両辺に同じ数を掛けても等式が成り立つ)
・A=B ならば A/C=B/C(両辺を同じ数で割っても等式が成り立つ、ただし C≠0)


この性質を利用すると、

① x+3=10
② x+3-3=10-3
③ x=10-3

となります。

②の左辺にある「+3-3」は「0」になるので、これを省力すると③となり、①から③を見ると左辺の「+3」を符号を変えて右辺に移した形になりますよね。

ならば、両辺から「3」を引くというステップは飛ばして、最初から左辺の「+3」を「-3」へと符号を変えて右辺に移してしまおう、というのが移項の考え方となります。

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2013年

12月

05日

算数と数学の違いって?

先日、ある生徒から「算数と数学ってどう違うの?」と質問を受けました。


うーん。算数と数学の違い。
あまり深く考えたことなかったですね。

例えば子どもたちって「学校の勉強なんて大人になったら使わない」、という
ようなことをよく言うけど、算数なんかは日常生活するうえで必須の学問です
よね。
数学はというと確かに方程式や関数などほとんどは日常生活では使いませんが、
仕事や人生を生きるうえでは数学的なものの考え方は非常に大切なことのよう
に感じます。


とりあえず、その場で上手く言葉に出来なかったので「ちょっと考えさせて」
と言って宿題にさせてもらいました。


で、いろいろ調べたり考えたりして、自分なりに算数と数学の違いを簡潔に
表現すると、


・算数
 →日常生活に必要な能力を磨くための学問

・数学
 →物事を論理的に考え未知の問題を解決する能力を磨く学問


ということかな、と思います。

質問してくれた子に伝えると、分かったような分からないような、という感じ
でしたけど(^^;;


ともあれ、生徒が「算数と数学の違いは?」って質問してくれたおかげで私も
いろいろ勉強できましたし、新しい発見もたくさんあって、本当に感謝です!!






ちなみに、文部科学省の真学習指導要領では算数・数学で学ぶべき目標を次のように
定義してます。参考までに。

小学校学習指導要領 算数
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/san.htm

中学校学習指導要領 数学
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/chu/su.htm

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