文章問題の考え方講座 ~part3 #1~

part3は二次方程式の単元の中で出題されてた問題です。

 

けれど、連立方程式、比例反比例、一次関数、図形(平行四辺形)の性質、など複合的な知識の土台が無ければ解けないかな、という感じの問題ですね。

 

 

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右の図のように、

 

直線①:y=x/2

双曲線②:xy=6 (x>0)

 

2点 A(-4,3) B(-1,-1) 

 

がある。

また、四角形ABCDが平行四辺形となるように、2点 C , D をそれぞれ①、②の上にとる。次の問いに答えなさい。

 

(1) 2点 C , D の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(2) 点P (3,-1) を通る直線n で、平行四辺形ABCDの面積を2等分したい。

直線n の式を求めよ。

 

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今回はこの問題の (1) を解説していきたいと思います。

 

まずは、四角形ABCD が平行四辺形であるということ。そのことから 点C と 点D の位置関係をどのように捉えるか、が大切なポイントになります。

 

 

四角形ABCD が平行四辺形だということは、

 

 線分AB と 線分DC は「傾き」も「長さ」も等しい

 

ということになりますね。つまり、

 

 「点C から 点D の位置関係」は「点B から 点A の位置関係」と等しい

 

と考えることが出来ます。

 

 

点A と 点B の座標は分かっているので、点A は 点B から見て、

 

 「x軸マイナス方向に3 , y軸プラス方向に4 移動した位置」

 

にあることが読み取れます。つまり、

 

 

点C と 点D の位置関係もそれと同様なので、点D は 点C から

 

 「x軸マイナス方向に3 , y軸プラス方向に4 移動した位置」

 

にあるということになります。

 

 

この位置関係の情報を利用すると、点C および 点D の座標を文字を使った式で表すことができます。

 

 

点C を (X,Y) とした場合であれば、点D は (X-3,Y+4) というようにそれぞれの座標を「文字2つ」で表わすことが出来ます。

 

もし 点D を (X,Y) とするのであれば、点C は (X+3,Y-4) となりますね。まぁそれは、どちらの点を基準にするか、というだけのことなのでどちらでもOKです。

 

あとは、直線① の式に 点C の座標を、双曲線②の式に点Dの座標を、それぞれ代入して解いていけばいいだけです。

 

 

 

 

この手の問題の考え方のポイントは、

 

 点C の x座標 (?1)、点C の y座標 (?2)、点D の x座標 (?3)、点D の y座標 (?4)

 

と、不明な値が4つあるわけですが、

 

 ?1 → 文字1、?2 → 文字2、?3 → 文字3、?4 → 文字4

 

このように、それぞれに文字を割り当てるのではなく、

 

 ?1 → 文字1、?2 → 文字2、?3 → 文字1を使って表わす、?4 → 文字2を使って表わす

 

こうして扱う文字の数を2つにするということ。

扱う文字が2つであれば連立方程式で解くことが出来ます。

 

 

 

ちなみに、扱う文字が1つであれば方程式で解くことが出来ます。ということで、次回は少し違った考え方で解く方法を解説してみたいと思います(^^)

 

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