生徒たちの「分からない」を取り上げて考えていきます。

 

解き方が分からない前提で「どんな風に考えて解いていくか」という過程を書いていくので、ぜひご自身でも解き方を考えながら読み進めてみてください。

 

 

今回は、中学３年の数学「因数分解」からの出題。塾の教材にあった問題２問、ネットで見つけた問題１問です。新年度最初の中間テストの範囲になるのでしっかり理解して自由自在に扱えるよう勉強しておきましょう！

 

(1)

　　 x＋y＝5 , xy＝－6 であるとき、( x － y )² の値を求めよ。

 

 

(2)

　　　x＋y＝－4 , xy＝3 であるとき、x² ＋ 3xy ＋ y² の値を求めよ。

 

 

(3)

　　　a－b＝3 , ab＝3 であるとき、2a² ＋ 2b² の値を求めよ。

 

 

平方完成という考え方を利用して解く問題ですね。

 

まずは、問題(1) を見ていきましょう。

 

問題を解くための考え方は、

 

「( x － y )² の値を求めよ」とあるけど、提示されている値は「x＋y＝5」となっている。ということは問題の「( x － y )²」が「( x ＋ y )²」だったら値を代入して解けるよね。

 

となります。

 

そして、「( x － y )²」を「( x ＋ y )²」に変形させるために平方完成の考え方を使います。

 

-----

 

ということで平方完成について説明します。

 

例えば、「x² ＋ y²」という式があり、これを平方の形、つまり因数分解して「( x ＋ y )²」に変形を完成させるための考え方が平方完成です。

 

　x² ＋ y²

　　↓

　( x ＋ y )²

 

このように因数分解できるようにしたい。それを考えるために、まずは下の式を展開してみましょう。

 

　x² ＋ y²

　　↓

　x² ＋ 2xy ＋ y²

 

こうしてみると、和の平方で因数分解するためには「+2xy」が足りないことが分かりますね。ここで必要な考え方はふたつ。

 

　①足りなければ足してあげれば良い

　②元の式とイコールの関係を維持するため、勝手に足した式と同じものを引けば良い

 

つまり①の操作は、

 

　x² ＋ y²　≠　x² ＋ y² ＋ 2xy

 

 

右の式になるが、これでは元の式とイコールではなくなってしまうので、

②の操作をして、

 

　x² ＋ y²　＝　x² ＋ y² ＋ 2xy － 2xy

 

 

このようにしてあげる。これで「＋ 2xy － 2xy」の部分を計算したら元の式「x² ＋ y²」とイコールですよね。この状態で、

 

　x² ＋ y²　＝　( x² ＋ y² ＋ 2xy ) － 2xy

 

この部分を因数分解してあげると、

 

　x² ＋ y²　＝　( x² ＋ 2xy ＋ y² ) － 2xy

　x² ＋ y²　＝　( x ＋ y )² － 2xy

 

このように、平方プラスα という形に変形させるのが平方完成の考え方です。

 

 

 

 

では、問題の解説↓

 

 

問題(1)

 

　x＋y＝5 , xy＝－6 であるとき、( x － y )² の値を求めよ。

 

「( x － y )²」の値を求めたい。けど、与えられた値は「x＋y＝5」となっている。

もし「( x － y )²」が「( x ＋ y )²」だったら「x＋y＝5」を代入できるのに。

 

じゃあ「( x － y )²」を「( x ＋ y )²」に変えちゃおう！

 

ということで、この考え方を実現させるのに使うのが平方完成ですね。具体的な解き方は上記の通りです！

 

 

ここまで、なんとなくでも理解できたかな。

しっかり考えて理解できたと思ったら問題(2)(3)は自力で解いてみてください。

 

 

解説は↓

 

問題(2)

 

　x＋y＝－4 , xy＝3 であるとき、x² ＋ 3xy ＋ y² の値を求めよ。

 

 

問題(3)

 

　a－b＝3 , ab＝3 であるとき、2a² ＋ 2b² の値を求めよ。

 

 

平方完成についてしっかりと理解し扱えるように勉強してみてください。

 

ところで、この 問題(1) ですが、生徒が「平方完成を使って解く」ことが出来なかったので取り上げたのですが、この生徒は全く別のアプローチで問題自体は解いています。

 

私はその考え方をしなかったので凄いなと感心しました。ということで別解。

 

-----

問題(1)

　x＋y＝5 , xy＝－6 であるとき、( x － y )² の値を求めよ。

-----

 

生徒が目を付けたのは「x＋y＝5 , xy＝－6」このふたつの式。

 

足して「5」、掛けて「－6」になる x , y の値を考え、

 

　x＝(－1) , y＝6

 

を導き出し、( x － y )² に代入して解く。

 

 

問題の解き方はひとつじゃないです。ひとつの解き方だけに捉われない柔軟な思考を大切に育てていきたいと思わされました。

 

ちなみに、この別解のアプローチ。

 

問題(2) も同様に解くことができますが、問題(3) は厳しいかもしれないですね。少なくとも x, y の値をパッと割り出すことはできそうにないです。

 

 

学校の勉強において、基本的に問題の答えは「ひとつ」として用意されているものですが、その答えにたどり着く方法はひとつとは限らないので、自由な発想で解にたどり着くその過程を楽しんでみてくださいね！

 

 

以上です。お疲れさまでした！
(*ᴗˬᴗ)⁾⁾